Real awọn nọmba ati won ini

Pythagoras so wipe awọn nọmba ni ipile ti aye lori kan Nhi pẹlu awọn pataki eroja. Plato gbà pe awọn nọmba ti ìjápọ awọn lasan ati awọn noumenon, ran lati mọ, lati wa ni oṣuwọn ati lati fa ipinnu. Isiro ba wa ni lati awọn ọrọ "arifmos" - awọn nọmba, awọn starting point ni mathimatiki. O ti wa ni ṣee ṣe lati se apejuwe eyikeyi ohun - lati ìṣòro to apple áljẹbrà alafo.

Nilo bi a idagbasoke ifosiwewe

Ni awọn ni ibẹrẹ ni asiko ti idagbasoke ti awujo awọn aini awon eniyan si rọ nipa awọn nilo lati tọju Dimegilio - .. Ọkan apo ọkà, meji ọkà apo, ati be be Lati ṣe eyi, ti o ti adayeba awọn nọmba, awọn ti ṣeto ti eyi ti jẹ ẹya ailopin ọkọọkan ti rere odidi N.

Lẹyìn náà, awọn idagbasoke ti mathimatiki bi a Imọ, o je pataki ninu awọn kan pato aaye ti odidi Z - o pẹlu odi iye ati odo. Re hihan ni awọn abele ipele, ti o ti mu nipasẹ o daju pe awọn ni ibẹrẹ iṣiro ni lati bakan fix awọn onigbọwọ ati adanu. Lori a ijinle sayensi ipele, odi awọn nọmba ti ṣe o ṣee ṣe lati yanju o rọrun PCM idogba. Lara ohun miiran, o jẹ bayi ṣee ṣe lati image a bintin ipoidojuko eto, ie. A. kan wà ojuami ti itọkasi.

Nigbamii ti igbese wà ni nilo lati tẹ ida nomba, niwon Imọ ko ni duro si tun, siwaju ati siwaju sii titun Imọ roo a tumq si igba fun titun kan titari idagbasoke. Ki nibẹ je kan oko ti nomba oniipin Q.

Níkẹyìn, ko si ohun to pade awọn wáà ti rationality, nitori gbogbo awọn titun awari beere idalare. Nibẹ wà kan aaye ti gidi awọn nọmba R, awọn iṣẹ ti Euclid ká incommensurability ti awọn titobi nitori ti won irrationality. Ti o ni, awọn atijọ Greek mathimatiki ni ipo ko nikan nọmba bi a ibakan, sugbon bi ohun áljẹbrà iye eyi ti o ti characterized nipa awọn ipin ti incommensurable magnitudes. Nitori si ni otitọ wipe nibẹ ni o wa nomba gidi, "a ri imọlẹ" iye bi "pi" ati "e", lai si eyi ti igbalode mathimatiki ko le ti ya ibi.

Ik ĭdàsĭlẹ je kan eka nọmba C. O si dahùn kan lẹsẹsẹ ti awọn ibeere ati refuted tẹlẹ wọ postulates. Nitori awọn dekun idagbasoke ti aljebra abajade wà tẹlẹ - pẹlu gidi awọn nọmba, awọn ipinnu ti ọpọlọpọ awọn isoro je ko ṣee ṣe. Fun apẹẹrẹ, o ṣeun si eka nọmba duro jade okun yii ati Idarudapọ ti fẹ idogba ti hydrodynamics.

Ṣeto Yii. Cantor

Awọn Erongba ti infinity ti nigbagbogbo ṣẹlẹ ariyanjiyan, bi o ti wà soro si lati fi mule tabi disprove. Ni o tọ ti mathimatiki, eyi ti o wa ni o ṣiṣẹ muna wadi postulates, o fi ara julọ o han ni, awọn diẹ ti awọn imq aspect si tun ti ni oṣuwọn ni aisan.

Sibẹsibẹ, nipasẹ awọn iṣẹ ti mathimatiki Georg Cantor gbogbo akoko subu sinu ibi. Ti o safihan wipe awọn ailopin tosaaju nibẹ jẹ ẹya ailopin ṣeto, ati pe awọn aaye R ni ti o tobi ju awọn aaye N, jẹ ki awọn mejeji ti wọn ati ki o ni ko si opin. Ni arin ti awọn XIX orundun, rẹ ero gbangba ti a npe ni ọrọ isọkusọ ati ki o kan ilufin lodi si kilasika aileyipada canons, ṣugbọn akoko yoo fi ohun gbogbo ninu awọn oniwe-ibi.

Ipilẹ-ini ti awọn aaye R

Gangan awọn nọmba ko nikan ni kanna-ini bi awọn podmozhestva ki nwọn ki o ni, sugbon ti wa ni imudara nipa miiran masshabnosti nipa ọrun ti awọn oniwe-eroja:

• Odo R. wa ati je ti si awọn aaye c + = c 0 fun eyikeyi c of R.
• Odo wa ati je ti si awọn aaye R. c x 0 = 0 fun eyikeyi c of R.
• Awọn ipin c: d nigbati d ≠ 0 wa ati ki o jẹ wulo fun eyikeyi c, d of R.
• Field R paṣẹ, i.e. ti o ba ti c ≤ d, d ≤ c, ki o si c = d fun eyikeyi c, d of R.
• Afikun ni aaye R ni commutative, i.e. c + d = d + c, fun eyikeyi c, d of R.
• Isodipupo ninu oko R ni commutative, i.e. x c x d = d c fun gbogbo c, d of R.
• Afikun ni aaye R jẹ associative i.e. (c + d) + f = c + (d + f) fun eyikeyi c, d, f of R.
• Isodipupo ninu oko R jẹ associative i.e. (c x d) x f = c x (d x f) fun eyikeyi c, d, f of R.
• Fun kọọkan nọmba ti oko R idakeji to o wa nibẹ, iru awọn ti c + (-C) = 0, ni ibi ti c, -C lati R.
• Fun kọọkan nọmba ti oko R wa awọn oniwe-onidakeji, iru awọn ti c x c ^-1 = 1 ibi ti c, c ^-1 of R.
• Unit wa ati je ti si R, ki awọn c x 1 = c, fun eyikeyi c of R.
• O ni o ni agbara ofin pinpin, ki c x (d + f) = c x d + c x f, fun eyikeyi c, d, f of R.
• Awọn R aaye jẹ odo ni ko dogba si isokan.
• Field R ni transitive: ti o ba c ≤ d, d ≤ f, ki o si c ≤ f fun eyikeyi c, d, f of R.
• Ni awọn R ati afikun ibere ti wa ni interconnected: ti o ba c ≤ d, ki o si c + f ≤ d + f fun gbogbo c, d, f of R.
• Ni awọn aṣẹ ti R ati isodipupo ti sopọ mọ: ti o ba 0 ≤ c, 0 ≤ d, ki o si 0 ≤ c x d fun eyikeyi c, d of R.
• Bi odi ati ki o rere nomba gidi ni o wa lemọlemọfún, i.e., fun eyikeyi c, d ti R f, nibẹ wa lati R, ti o c ≤ f ≤ d.

Module aaye R

Awọn ti gidi awọn nọmba ni iru ohun kan bi a module. Pataki ti o bi awọn | f | fun eyikeyi f ni R. | f | = F, ti o ba ti 0 ≤ f ati | f | = -F, ti o ba 0> f. Ti a ba ro ti module bi a jiometirika iye, o jẹ kan ijinna - o ko ni pataki, "koja" o bi odo ninu awọn odi si rere tabi siwaju.

Eka ati nomba gidi. Ohun ti o wa ni afijq ati orisirisi?

Nipa ati ki o tobi, eka ati nomba gidi - ti won ba wa ni ọkan ati awọn kanna, ayafi ti akọkọ darapo riro kuro i, awọn square ti awọn ti jẹ dogba si -1. Eroja aaye R ati C le ti wa ni ipoduduro nipasẹ awọn wọnyi agbekalẹ:

• c = d + f x i, ninu eyiti d, f jẹ awọn aaye R, ati awọn i - riro kuro.

Lati gba awọn c of R f ninu apere yi nìkan assumed lati wa ni odo, ie, nibẹ ni nikan ti gidi apa ti awọn nọmba. Nitori awọn aaye ti eka nọmba ni o ni kanna ẹya-ara ṣeto bi awọn aaye ti gidi, f x i = 0 ti o ba ti f = 0.

Pẹlu n ṣakiyesi wulo iyato, fun apẹẹrẹ ni awọn aaye R kuadiratiki idogba ko le wa ni re ti o ba ti discriminant ni odi, nigba ti C apoti ko ni fa yi aropin nipa to ni lenu awọn riro kuro i.

awọn esi

"Biriki" ti axiom ati postulates lori eyi ti to mimọ mathimatiki, ma ko yi. Lori diẹ ninu awọn ti wọn nitori awọn ilosoke ti alaye ati awọn ifihan ti titun imo gbe awọn wọnyi "biriki", eyi ti o ni ojo iwaju le di ni igba fun awọn nigbamii ti igbese. Fun apẹẹrẹ, adayeba awọn nọmba, pelu awọn ti o daju wipe ti won ba wa a ayosile ti awọn gidi oko R, ko ko padanu awọn oniwe-ibaramu. O ti wa ni fun wọn ni igba ti gbogbo ìṣòro isiro, eyi ti o bẹrẹ pẹlu awọn imo ti ọkunrin kan ti alaafia.

Lati kan wulo ojuami ti wo, awọn ti gidi awọn nọmba wo bi a ila gbooro. O ti wa ni ṣee ṣe lati yan kan itọsọna, lati da awọn Oti ati ipolowo. Direct oriširiši ti ẹya ailopin nọmba ti ojuami, kọọkan ti eyi ti ni ibamu si kan nikan nomba gidi, laibikita boya tabi ko onipin. Lati apejuwe ti o jẹ ko o pe a ti wa ni sọrọ nipa awọn Erongba, eyi ti o ti orisun mathimatiki ni apapọ, ati mathematiki onínọmbà ni pato.