Bolianu aljebra. aljebra ti kannaa. Eroja ti mathematiki kannaa

Ni oni aye ti a ti wa increasingly lilo orisirisi kan ti ero ati ki irinṣẹ. Ati ki o ko nikan nigbati o jẹ pataki lati waye gangan superhuman agbara: gbe awọn fifuye lati ró o si iga, ma wà gun ati ki o jin kòtò, ati be be Cars loni gba roboti, ounje wa ni jinna Multivarki ati ìṣòro isiro se isiro gbe awọn isiro ... Siwaju ati siwaju sii igba ti a gbọ awọn gbolohun "Bolianu aljebra". Boya akoko ti de lati ni oye awọn ipa ti enia ninu awọn ẹda ti roboti ati awọn ero ni agbara lati yanju ko nikan mathematiki, sugbon o tun mogbonwa isoro.

kannaa

Ni Greek kannaa - ẹya paṣẹ eto ti ero ti o ṣẹda awọn ibasepọ laarin awọn fun ipo ati faye gba o lati ṣe inferences da lori awqn ati nkan. Oyimbo igba, a beere kọọkan miiran: "O ti wa ni mogbonwa to" The esi jerisi wa awqn tabi criticizes reluwe ti ero. Ṣugbọn awọn ilana ko ni da nibẹ: a tesiwaju lati ba sọrọ.

Ma awọn nọmba ti awọn ipo (input) jẹ ki nla, ati awọn ibasepọ laarin wọn jẹ ki airoju ati eka ti awọn eniyan ọpọlọ ni ko ni anfani lati "Daijesti" gbogbo ni ẹẹkan. O le nilo siwaju ju ọkan osù (ọsẹ, odun) fun awọn oye ti ohun ti ṣẹlẹ. Ṣugbọn igbalode aye ko ni fun wa wọnyi akoko arin lati ṣe ipinnu. Ati awọn ti a asegbeyin ti si iranlowo ti awọn kọmputa. Ati awọn ti o ni nibi ti wa ti jẹ ẹya aljebra ati kannaa, pẹlu awọn oniwe-ofin ati ini. Lẹhin ti gbigba gbogbo awọn ti awọn atilẹba data, a gba awọn kọmputa lati da gbogbo ibasepo, lati se imukuro itakora ati lati wa a itelorun ojutu.

Mathematics ati kannaa

Olokiki Gotfrid Vilgelm Leybnits gbekale awọn Erongba ti "mathematiki kannaa", eyi ti awọn iṣẹ-ṣiṣe wà rorun lati ni oye nikan kan kekere Circle ti awọn ọjọgbọn. Ti pato anfani ni awọn itọsọna kò fa, ati lati arin ti awọn XIX orundun ti mathematiki kannaa mọ nipa diẹ.

Awọn nla anfani ni awọn ijinle sayensi awujo ti ṣẹlẹ a ifarakanra ninu eyi ti awọn Englishman Dzhordzh Bulu so rẹ aniyan lati fi idi kan ti eka ti mathimatiki, ko nini Egba ko si wulo lilo. Bi a ti mọ lati itan, ni akoko yi actively sese ise gbóògì, a ni idagbasoke gbogbo iru awọn ti oluranlowo ero, t. E. Gbogbo awọn ijinle sayensi Imọ ti ní a wulo Iṣalaye.

Nwa wa niwaju, a so pe a Bolianu aljebra - awọn julọ ti a lo ninu aye loni apa ti mathimatiki. Nítorí rẹ ariyanjiyan Buhl sọnu.

Dzhordzh Bulu

Awọn eniyan ti onkowe ye pataki ifojusi. Ani fun awọn ti o daju wipe ninu awọn ti o ti kọja eniyan dagba soke niwaju wa, si tun o yẹ ki o wa woye wipe ninu awọn 16 years ti John. Buhl kọ ni abule ile-iwe, ati ki o si 20 years la ara rẹ ile-iwe ni Lincoln. Mathimatiki daradara mastered marun ajeji ede, ati ninu apoju akoko, ti a ti kika awọn iṣẹ ti Newton ati Lagrange. Ati gbogbo yi - lori ohun arinrin Osise ọmọ!

Ni 1839, Buhl rán rẹ akọkọ ijinle sayensi ogbe ni Cambridge Mathematical Journal. Sayensi ni tan-24 odun. Boole ise jẹ ki nife ọmọ ẹgbẹ ti Royal Society, ni 1844 o ti gba a loôdun fun ilowosi si awọn idagbasoke ti mathematiki onínọmbà. A diẹ atejade ogbe ninu eyi ti awọn eroja ti mathematiki kannaa, mathimatiki laaye awọn ọmọ lati ya awọn post ti professor ni College of Cork County won se apejuwe. Ẹ rántí pé ni awọn gan Boole eko je ko.

agutan

Ni opo, Bolianu aljebra ni irorun. Nibẹ ni o wa gbólóhùn (mogbonwa expressions) ti, lati ojuami ti wo ti mathimatiki, le nikan wa telẹ ni gbolohun meji: "otito" tabi "eke". Fun apẹẹrẹ, igi ni orisun omi Bloom - òtítọ, ninu ooru ti o snows - a luba. Awọn ẹwa ti mathimatiki ni wipe o ni ko muna pataki lati lo nikan awọn nọmba. Fun awọn aljebra idajọ oyimbo ipele ti eyikeyi gbólóhùn pẹlu oto itumo.

Bayi, awọn aljebra ti kannaa ni a le lo gangan nibi gbogbo: ninu awọn eto ati kikọ ẹkọ, igbekale ti gbarawọn alaye nipa awọn iṣẹlẹ ati awọn ipinnu ti awọn ọkọọkan ti sise. Awọn ohun pataki - lati mọ wipe o ko ni pataki bi a ti mọ òtítọ tabi falsity ti gbólóhùn. Lati awọn wọnyi "bi o" ati "idi" ti o nilo lati foju. Ohun ti ọrọ ni nikan kan gbólóhùn ti o daju: otito ni a luba.

Dajudaju, siseto julọ pataki awọn iṣẹ ti awọn aljebra ti kannaa ti o ti wa gba silẹ pẹlu deede ami ati aami. Ki o si ko wọn - o tumo si lati ko eko titun kan ajeji ede. Ti ohunkohun ko ni soro.

Ipilẹ agbekale ati itumo

Laisi ti lọ sinu ijinle, a wo pẹlu isẹ. Nítorí náà, Bolianu aljebra presupposes:

• gbólóhùn;
• mogbonwa mosi;
• awọn iṣẹ ati ofin.

Gbólóhùn - eyikeyi affirmative ikosile ti o le wa ni tumo meji-wulo. Wọn ti wa ni a kọ bi awọn nọmba (5> 3) tabi gbekale faramọ awọn ọrọ (erin - awọn ti mammal). Ninu apere yi, awọn gbolohun "awọn giraffe ọrùn ni ko" tun ni o ni a si ọtun lati tẹlẹ, nikan Bolianu aljebra setumo o bi "a luba."

Gbogbo gbólóhùn yẹ ki o wa unambiguous, sugbon ti won le jẹ awọn ipilẹ tabi yellow. Recent lilo mogbonwa lapapo. E. Ni awọn aljebra gbólóhùn idajọ yellow akoso nipa awọn afikun ti ìṣòro kannaa mosi.

Bolianu aljebra mosi

A tẹlẹ ranti wipe mosi ni awọn aljebra ti idajọ - mogbonwa. O kan bi awọn aljebra ti awọn nọmba lilo awọn isiro mosi lati fikun, yọ, tabi afiwe awọn nọmba, mathematiki kannaa eroja gba lati ṣe eka gbólóhùn, lati sẹ tabi lati ṣe iṣiro awọn ik esi.

Kannaa mosi fun awọn formalization ati ayedero kosile nipasẹ awọn agbekalẹ, faramọ si wa ni isiro. -Ini ti Bolianu aljebra idogba ṣe awọn ti o ṣee ṣe lati gba ki o si ṣe iṣiro awọn aimọ. Mogbonwa mosi ti wa ni maa gba silẹ nipa awọn otitọ tabili. Awọn oniwe-eroja setumo ọwọn ati iširo isẹ eyi ti o ti ṣe lori wọn, ati awọn ori ila fi awọn esi ti se isiro.

Ipilẹ kannaa ti igbese

Awọn wọpọ ninu awọn Bolianu aljebra mosi ti wa ni isododi (KO), ati awọn mogbonwa ATI ati OR. Ki o jẹ ṣee ṣe lati se apejuwe Oba gbogbo awọn igbesẹ ninu aljebra idajọ. A iwadi ni apejuwe awọn kọọkan ninu awọn mẹta mosi.

Awọn isododi (ko) ti wa ni loo si nikan kan ano (operand). Nitorina, ni isẹ ni a npe ni a alakokan isododi. Lati gba awọn Erongba ti "ko A" lilo iru aami: ¬A, A tabi A !. Ni tabular fọọmu o wulẹ bi yi:

Awọn iṣẹ ti kiko aṣoju ti iru kan gbólóhùn: ti o ba ti A jẹ otitọ, ki o si A - jẹ eke. Fun apẹẹrẹ, oṣupa revolves ni ayika Earth - otitọ; Earth revolves ni ayika oṣupa - a luba.

Mogbonwa isodipupo ati afikun

Mogbonwa ATI isẹ ti ni a npe ni a apapo. Kí ni o tumọ si? Ni ibere, ti o le wa ni loo si meji operands, ie, Mo - .. alakomeji isẹ. Keji, o jẹ nikan ni awọn idi ti awọn otitọ ti awọn mejeeji operands (mejeeji A o si B) ti wa ni otitọ ati awọn ikosile ara. The owe, "Sùúrù ati kekere kan akitiyan" tumo si pe nikan meji ifosiwewe le ran a eniyan bawa pẹlu awọn isoro.

Awọn aami wa ni lilo fun gbigbasilẹ: A∧B, A⋅B tabi A && B.

Apapo ni iru si isodipupo ninu mathematiki. Ma ki o si wi - mogbonwa isodipupo. Ti o ba se isodipupo awọn eroja ti awọn ori ila ti awọn tabili, a gba a esi iru si mogbonwa ero.

Disjunction ni a mogbonwa OR isẹ. O ti wa ni TÒÓTỌ ti o ba ti ni o kere ọkan ninu awọn gbólóhùn jẹ otitọ (boya A tabi B). A ti kọ ọ bi yi: A∨B, A + B tabi A || B. otitọ tabili fun awọn wọnyi mosi ni o wa:

Disjunction iru isiro afikun. mogbonwa afikun isẹ ti o ni nikan kan hihamọ: 1 + 1 = 1. Sugbon a ranti wipe ni a oni kika wa ni opin si mathematiki kannaa 0 ati 1 (ibi ti 1 - òtítọ, 0 - eke). Fun apẹẹrẹ, awọn gbólóhùn "ni musiọmu o ti le ri a aṣetan tabi ri kan ti o dara ile" tumo si ohun ti o le ri ise ti aworan, ati awọn ti o jẹ ṣee ṣe lati pade awon ohun eniyan. Ni akoko kanna, ma ṣe akoso jade ni seese ti igbakana asotele ti awọn mejeeji iṣẹlẹ.

Awọn iṣẹ ati awọn ofin

Nítorí, a ti mọ tẹlẹ ohun ti awọn mogbonwa isẹ lilo Bolianu aljebra. Awọn iṣẹ apejuwe gbogbo awọn ini ti awọn eroja ti mathematiki kannaa, ati ki o gba wa lati simplify eka yellow gbólóhùn. Awọn julọ ko o ati ki o rọrun dabi ijusile ohun ini ti awọn itọsẹ mosi. Nipa awọn itọsẹ ti wa ni gbọye XOR, lowo ati ṣe deede. Bi a ti ka nikan pẹlu awọn ipilẹ mosi, ati ki o si awọn ohun ini jẹ tun nikan ro wọn.

Associativity tumo si wipe ninu awọn gbólóhùn bi "awọn mejeeji A o si B, ati B 'ọkọọkan kikojọ ti awọn operands ko ni pataki. Awọn agbekalẹ ti kọ bi wọnyi:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Bi o ti le ri, yi ni ko oto si awọn apapo ṣugbọn a disjunction.

Commutativity njiyan wipe awọn esi ti awọn apapo tabi disjunction ko ko duro lori eyi ti ohun kan ti a kà ni outset:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity faye gba afihan biraketi ni eka mogbonwa expressions. Ofin wa ni iru si awọn šiši parenthesis ni isodipupo ati afikun ninu aljebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit-ini ati ibere, eyi ti o le jẹ ọkan ninu awọn operands ni o tun iru si awọn aljebra isodipupo nipa odo tabi ọkan, ati awọn afikun ti a kuro:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency sọ fún wa wipe ti o ba jo meji dogba operands awọn esi ti awọn isẹ ti jẹ kanna, o le "jabọ" awọn excess complicate ero operands. Ati awọn apapo ati disjunction mosi ti wa ni idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akomora tun gba wa lati simplify idogba. Gbigba sọ pé nigbati awọn ikosile ti wa ni loo si ọkan operand, miran isẹ pẹlu kanna ano ti awọn esi operand ti wa ni absorbing isẹ.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

ọkọọkan ti mosi

Ọkọọkan awọn mosi ti wa ni ti awọn nla pataki. Kosi, bi fun aljebra, nibẹ ni kan ni ayo iṣẹ ti o nlo a Bolianu aljebra. Fomula le wa ni yepere nikan koko ọrọ si awọn lami ti awọn mosi. Ayelujara ti awọn julọ significant to ti aifiyesi, a gba awọn wọnyi ọkọọkan:

1. ṣisiifidio kuro.

2. apapo.

3. Awọn disjunction, XOR.

4. Awọn lowo, ṣe deede.

Bi o ti le ri, nikan ni isododi ti awọn apapo ati ki o ko ni dogba ni ayo. A ni ayo ti awọn disjunction ati XOR wa ni dogba, bi daradara bi awọn ayo ti lowo ati ṣe deede.

Iṣẹ ti lowo ati ṣe deede

Bi awa ti wi, ni afikun si awọn ipilẹ mogbonwa mosi, mathematiki kannaa ati yii ti aligoridimu lilo awọn itọsẹ. O ti wa ni julọ igba ni lowo ati ṣe deede.

Awọn lowo tabi mogbonwa Nitori - yi gbólóhùn, ninu eyi ti ọkan igbese ni a majemu, ati awọn miiran - awọn esi ti awọn oniwe-imuse. Ninu awọn ọrọ miiran, yi imọran pẹlu awọn pretext ti "ti o ba ti ... ki o si". "Lẹhin ti ale ba wa ni reckoning." E. Fun iwakọ lati wa ni tightened lori awọn sled òke. Ti ko ba si ifẹ lati gbe sọkalẹ lati ori òke, ati ki o si fa awọn sled jẹ ko wulo. Ti kọ bẹ: A → B tabi A⇒B.

Ṣe deede tumo si pe awọn àwọn ipa waye nikan nigbati awọn mejeeji operands wa ni otito. Fun apẹẹrẹ, night yoo fun ọna lati ọjọ ki o si (ati ki o nikan ki o si), nigbati õrùn là lori awọn ipade. Ninu ede ti mathematiki kannaa ti yi gbólóhùn ti kọ bi A≡B, A⇔B, A == B.

Miiran ofin ti Bolianu aljebra

Aljebra idajọ ndagba, ati ọpọlọpọ nife sayensi lati se agbekale titun ofin. Awọn julọ olokiki ti wa ni kà postulates Scotland mathimatiki O. De Morgan. O woye o si fi a definition ti iru-ini bi isododi, afikun ati ki o ė odi.

Close kiko ni imọran wipe ki o to awọn parenthesis ni ko si se: ko (A tabi B) = ko A tabi B. NOT

Nigba ti o ti operand ti wa ni sẹ, lai ti awọn oniwe-iye, sọ nipa afikun:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ati nipari, awọn ė isododi ara compensates. ie ṣaaju ki o to boya operand isododi disappears tabi si maa wa nikan kan.

Bawo ni lati yanju igbeyewo

Kannaa tumo si simplification predetermined idogba. Gege bi ninu awọn luba aljebra, o jẹ pataki lati maximally dẹrọ akọkọ majemu (lati xo idiju input mosi, ati pẹlu wọn), ki o si bẹrẹ nwa fun kan ti o tọ idahun.

Kini lati se lati simplify? Iyipada gbogbo awọn itọsẹ ni kan awọn isẹ. Ki o si ṣii gbogbo awọn biraketi (tabi idakeji, lati ṣe awọn biraketi lati din yi ano). Nigbamii ti igbese yẹ ki o wa lati lo Bolianu aljebra-ini ni asa (gbigba ini odo ati ọkan, ati t.).

Nigbeyin, idogba yẹ ki o ni kan kere nọmba ti unknowns, ni idapo pelu o rọrun mosi. Ni rọọrun lati wo fun a ojutu, ti o ba ti o ba ṣe kan ti o tobi nọmba ti sunmọ ODI. Ki o si awọn idahun yoo gbe jade bi ti o ba nipa ara.