The tí ó lọ kánrin je. Iṣiro ti lọ kánrin integrals

Ọkan ninu awọn yeke ruju ti mathematiki onínọmbà ni awọn je kalkulosi. O ni wiwa kan gan jakejado aaye ti ohun, ibi ti awọn akọkọ - o jẹ awọn kánrin je. Ipo ti o duro bi a bọtini ti o jẹ si tun ni ile-iwe giga han ẹya npo nọmba ti asesewa ati anfani, eyi ti o se apejuwe ti o ga mathimatiki.

irisi

Ni akọkọ kokan, o dabi patapata je si igbalode, ti agbegbe, sugbon ni asa o wa ni jade ti o wá pada ni 1800 BC. Home to ifowosi kà Egipti bi kò de ọdọ wa sẹyìn eri ti awọn oniwe-aye. O nitori aini ti alaye, gbogbo awọn nigba ti ni ipo nìkan bi a lasan. O si lekan si confirms ni ipele ti ijinle sayensi idagbasoke ti awọn enia ti awon igba. Níkẹyìn, awọn iṣẹ a ri awọn ti atijọ Giriki mathematicians, ibaṣepọ lati 4th orundun bc. Nwọn apejuwe awọn ọna ti a lo ibi ti awọn tí ó lọ kánrin je, awọn lodi ti eyi ti o wà lati wa awọn iwọn didun tabi agbegbe ti a curvilinear apẹrẹ (onisẹpo mẹta ati meji-onisẹpo ofurufu, lẹsẹsẹ). isiro ti a da lori awọn opo ti pipin ti awọn atilẹba olusin sinu infinitesimal irinše, pese awọn iwọn didun (agbegbe) ti wa ni tẹlẹ mọ fún wọn. Lori akoko, awọn ọna ti po, Archimedes lo o lati wa awọn agbegbe ti a parabola. Iru isiro ni akoko kanna lati bá se awọn adaṣe ni atijọ ti China, ni ibi ti nwọn wà patapata ominira lati Giriki elegbe Imọ.

idagbasoke

Nigbamii ti awaridii ninu awọn XI orundun BC ti di awọn iṣẹ ti awọn Arab omowe "keke eru" Abu Ali al-Basri, ti o tì awọn aala ti awọn tẹlẹ mọ, won yo lati je agbekalẹ fun se isiro awọn akopọ ti awọn oye ati iwọn lati akọkọ si kẹrin, a to fun yi mimọ fun wa fifa irọbi ọna.
Ọkàn ti loni ti wa ni admired nipa awọn atijọ Egipti da awọn iyanu monuments lai eyikeyi pataki irinṣẹ, ayafi fun awọn ti o ti ara wọn ọwọ, ṣugbọn ti wa ni ni ko kan agbara asiwere sayensi ti awọn akoko ko kere a iyanu? Akawe pẹlu awọn ti isiyi igba ti aye won dabi fere atijo, ṣugbọn awọn ipinnu ti lọ kánrin integrals deduced nibi gbogbo ati ki o lo ni asa fun siwaju idagbasoke.

Nigbamii ti igbese mu ibi ninu awọn XVI orundun, nigbati awọn Itali mathimatiki Cavalieri mu indivisible ọna, eyi ti o ti gbe soke Per Ferma. Awọn wọnyi meji eniyan fi ipilẹ fun awọn igbalode je kalkulosi, eyi ti o ti wa ni mo ni akoko. Nwọn si ti so awọn agbekale ti yiyatọ ati Integration, eyi ti won tẹlẹ ri bi ara-ti o wa ninu sipo. Nipa ati ki o tobi, awọn mathimatiki ti ti akoko je fragmented patikulu awari tẹlẹ nipa ara wọn, pẹlu opin lilo. Way lati iparapọ ki o si ri wọpọ ilẹ je nikan ni otito ni akoko, o ṣeun fun u pe, awọn igbalode mathematiki onínọmbà ní ni anfani lati dagba ki o si se agbekale.

Pẹlu awọn aye ti akoko ayipada ohun gbogbo ati awọn je aami bi daradara. Nipa ati ki o tobi, ti o ti pataki sayensi ti o ni ara rẹ ona, fun apẹẹrẹ, Newton lo a square icon, eyi ti fi ohun integrable iṣẹ, tabi nìkan fi papo. Yi ipada opin si titi ti XVII orundun, nigbati a enikeji fun gbogbo yii ti mathematiki onínọmbà ọmowé Gotfrid Leybnits ṣe iru a ti ohun kikọ silẹ faramọ si wa. Elongated "S" ti wa ni kosi da lori iwe yi ti awọn Roman alphabet, niwon ntọka naira primitives. Awọn orukọ ninu awọn je gba ọpẹ si Jakob Bernoulli, lẹhin 15 years.

The lodo definition

The tí ó lọ kánrin je da lori definition ti awọn atijo, ki a ro o ni akọkọ ibi.

Antiderivative - ni awọn onidakeji iṣẹ ti awọn itọsẹ, ni asa ti o ti ni a npe ni aiye atijo. Bibẹkọ ti: atijo iṣẹ ti d - ni iṣẹ kan D, eyi ti o jẹ ti awọn itọsẹ v <=> V '= v. Search atijo ni lati ṣe iṣiro awọn kánrin je, ati awọn ilana ara ni a npe ni Integration.

apẹẹrẹ:

Awọn iṣẹ s (y) = y ^3, ati awọn oniwe-atijo S (y) = (y ^4/4).

Awọn ṣeto ti gbogbo primitives ti awọn iṣẹ - yi jẹ ẹya tí ó lọ kánrin je, ti tọka si o bi wọnyi: ∫v (x) DX.

Nipa ọrun ti o daju wipe V (x) - ni o wa nikan diẹ ninu atijo atilẹba iṣẹ, ikosile Oun ni: ∫v (x) DX = V (x) + C, ni ibi ti C - ibakan. Labẹ awọn lainidii ibakan ntokasi si eyikeyi ibakan, niwon awọn oniwe-itọsẹ ni odo.

-ini

Awọn ini ti gba nipa awọn kánrin je, pataki da lori awọn definition ati ini ti awọn itọsẹ.
Ro awọn bọtini ojuami:

• je itọsẹ ti awọn atijo ni atijo ara plus alainidi ibakan C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• itọsẹ ti awọn je ti a isẹ nẹtiwoki jẹ atilẹba iṣẹ <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• ibakan ti wa ni ya jade lati labẹ awọn je ami <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, ibi ti k - ni lainidii;
• je, eyi ti o ti ya lati iye ti awọn identically dogba si iye integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Awọn ti o kẹhin meji-ini le wa ni pari wipe tí ó lọ kánrin je ni PCM. Nitori lati yi, a ni: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Lati ri apeere ti ojoro solusan tí ó lọ kánrin integrals.

O gbọdọ ri awọn je ∫ (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Lati awọn apẹẹrẹ a le pinnu wipe o ko ba mo bi lati yanju tí ó lọ kánrin integrals? O kan ri gbogbo awọn primitives! Ṣugbọn awọn àwárí fun awọn agbekale sísọ ni isalẹ.

Ọna ati Apeere

Ni ibere lati yanju awọn je, o le ohun asegbeyin ti si awọn ọna wọnyi:

• setan lati lo anfani ti awọn tabili;
• darapo nipa awọn ẹya ara;
• ese nipa rirọpo awọn ayípadà;
• summing soke labẹ awọn ami ti awọn iyato.

tabili

Awọn julọ rọrun ki o si igbaladun ọna. Ni akoko, mathematiki onínọmbà le ṣogo oyimbo sanlalu tabili, eyi ti o sipeli jade awọn ipilẹ agbekalẹ ti lọ kánrin integrals. Ni gbolohun miran, nibẹ ni o wa awọn awoṣe yo soke si ọ ati awọn ti o le nikan ya awọn anfani ti wọn. Eyi ni awọn akojọ ti awọn akọkọ tabili ipo, eyi ti o le wa ni afihan fere gbogbo apeere, ni o ni kan ojutu:

• ∫0dy = C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫dy = y + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, ni ibi ti C - kan ibakan, ati n - nọmba ti o yatọ lati isokan;
• ∫ (1 / y) dy = Ln | y | + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ^{∫e y dy = e y + C} , ni ibi ti C - ibakan;
• ^{∫k y dy = (k y /} Ln k) + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫cosydy = siny + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫sinydy = -cosy + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫dy / nitori ² y = tgy + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫dy / ẹṣẹ ² y = -ctgy + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫chydy = itiju + C, ni ibi ti C - ibakan;
• ∫shydy = chy + C, ni ibi ti C - ibakan.

Ti o ba wulo, ṣe tọkọtaya kan ti awọn igbesẹ ti ja integrand to a tabular view ati ki o gbadun gun. Apere: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x ẹṣẹ (5x - 2) + C.

Ni ibamu si awọn ipinnu ti o jẹ ko o pe fun apẹẹrẹ a tabili integrand ko si multiplier 5. A fi ti o ni ni afiwe pẹlu yi nipa isodipupo 1/5 to gbogboogbo ikosile ko yi.

Integration nipa Parts

Ro meji awọn iṣẹ - z (y) ati x (y). Nwọn gbọdọ jẹ continuously differentiable lori awọn oniwe-ašẹ. Ni ọkan yiyatọ-ini ti a ni: d (xz) = xdz + zdx. Darapo mejeji, a gba: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Rewriting awọn Abajade idogba, a gba awọn agbekalẹ, eyi ti o se apejuwe awọn ọna ti Integration nipa awọn ẹya ara: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Idi ni o pataki? Awọn o daju wipe diẹ ninu awọn ti apeere o jẹ ṣee ṣe lati simplify, jẹ ki ká sọ, lati din ∫zdx ∫xdz, ti o ba ni igbehin jẹ sunmo si tabular fọọmu. Bakannaa, yi agbekalẹ le ṣee lo diẹ sii ju ẹẹkan, ti aipe fun esi.

Bawo ni lati yanju tí ó lọ kánrin integrals ọna yi:

• pataki lati ṣe iṣiro ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• gbọdọ ṣe iṣiro ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -S + C = s (lns-1) + C.

Rirọpo awọn ayípadà

Yi opo ti lohun tí ó lọ kánrin integrals wa ni ko kere ni eletan ju ti tẹlẹ meji, tilẹ idiju. Awọn ọna ti o jẹ bi wọnyi: Jẹ ki V (x) - awọn je ti diẹ ninu awọn iṣẹ v (x). Ni awọn iṣẹlẹ ti ninu ara je ni Apere slozhnosochinenny ba de, jẹ seese lati gba mo ki o si lọ si isalẹ awọn ti ko tọ si ona solusan. Lati yago fun iwa ayipada lati ayelujara x to z, ninu eyi ti gbogbo ikosile oju yepere nigba ti mimu awọn z ti o da lori x.

Ni mathematiki awọn ofin, yi jẹ bi wọnyi: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), ibi ti x = y ( z) - fidipo. Ati, dajudaju, awọn onidakeji iṣẹ z = y ^-1 (x) ni kikun apejuwe awọn ibasepọ ati awọn ibasepo ti oniyipada. Pataki akọsilẹ - awọn iyato DX dandan rọpo pẹlu titun kan iyato dz, niwon awọn ayipada ti ayípadà ni ó lọ kánrin je je rirọpo ti o nibi gbogbo, ko o kan ni awọn integrand.

apẹẹrẹ:

• gbọdọ ri ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Waye ni fidipo z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Ki o si dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Bi awọn kan abajade, awọn wọnyi ikosile, eyi ti o jẹ gidigidi rorun lati ṣe iṣiro:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• o gbọdọ ri awọn je ∫2 ^s e ^s DX

Lati yanju awọn rewrite ninu awọn wọnyi fọọmu:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

A yan nipa a = 2e (rirọpo ti awọn ariyanjiyan yi igbese ni ko, o ti wa ni ṣi s), ti a fi fun wa dabi ẹnipe idiju je to ipilẹ tabular fọọmu:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / Ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / Ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Summing soke a iyato ami

Nipa ati ki o tobi, yi ọna ti ó lọ kánrin integrals - awọn ibeji arakunrin ti awọn opo ti awọn ayipada ti ayípadà, ṣugbọn nibẹ ni o wa orisirisi ba wa ni awọn ilana ti ìforúkọsílẹ. Jẹ ki a ro ni diẹ apejuwe awọn.

Ti o ba ti ∫v (x) DX = V (x) + C ati y = z (x), ki o si ∫v (y) dy = V (y) + C.

Ni akoko kanna a ko gbodo gbagbe awọn bintin je awọn ayipada, laarin eyi ti:

• DX = d (x + a), ati ki o eyiti - kọọkan ibakan;
• DX = (1 / a) d (ãke + b), nibi ti a - ibakan lẹẹkansi, sugbon ko odo;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ti a ba ro gbogbo irú ibi ti a ti ṣe iṣiro awọn kánrin je, apeere le ti wa ni subsumed labẹ gbogbo agbekalẹ w '(x) DX = DW (x).

apeere:

• gbọdọ ri ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

online iranlọwọ

Ni awọn igba miiran, ni ẹbi ti eyi ti o le di tabi nkede, tabi ohun amojuto ni ye, o le lo awọn online ta, tabi dipo, lati lo a isiro tí ó lọ kánrin integrals. Pelu awọn kedere complexity ati ti ariyanjiyan iseda ti awọn integrals, awọn ipinnu jẹ koko ọrọ si won kan pato alugoridimu, eyi ti o ti da lori awọn opo ti "ti o ba ti o ba se ko ... ki o si ...".

Dajudaju, a paapa intricate apeere ti iru a isiro yoo ko Titunto si, bi nibẹ ni o wa igba ni eyi ti a ipinnu ni o ni lati ri ohun toju "fi agbara mu" nipa to ni lenu awọn eroja ninu awọn ilana, nitori awọn esi ti o wa kedere ona lati de ọdọ. Pelu awọn ti ariyanjiyan iseda ti yi gbólóhùn, o jẹ otitọ, bi awọn mathimatiki, ni opo, ohun áljẹbrà Imọ, ati awọn oniwe-jc ohun ka ye lati agbara awọn aala. Nitootọ, fun a dan run-ni imo jẹ gidigidi soro lati gbe si oke ati da, ki ma ko ro pe awọn apeere ti lohun tí ó lọ kánrin integrals, eyi ti o fun wa - yi ni iga ti awọn anfani. Sugbon pada si ni imọ ẹgbẹ ti ohun. Ni o kere lati ṣayẹwo awọn isiro, o le lo awọn iṣẹ ninu eyi ti a ti kọ ọ si wa. Ba ti wa ni a nilo fun laifọwọyi isiro ti eka expressions, ki o si ti won ko ba ko ni lati asegbeyin ti si a diẹ pataki software. Yẹ ki o san ifojusi nipataki lori ayika MATLAB.

ohun elo

Awọn ipinnu ti lọ kánrin integrals ni akọkọ kokan dabi patapata kuro lati otito, nitori ti o jẹ soro lati ri awọn kedere lilo ti awọn ofurufu. Nitootọ, taara lo wọn nibikibi ti o ba le ko, sugbon ti won ni o wa kan pataki agbedemeji ano ni awọn ilana ti yiyọ kuro ti awọn solusan lo ninu iwa. Bayi, awọn Integration ti pada yiyatọ, bayi actively kopa ninu awọn ilana ti lohun idogba.
Ni Tan, awon idogba wonyi ni a taara ikolu lori awọn ipinnu ti darí isoro, afokansi isiro ati ki o gbona elekitiriki - ni kukuru, ohun gbogbo ti o je bayi ati mura ojo iwaju. Tí ó lọ kánrin je, apeere ti eyi ti a ti kà loke, nikan bintin ni akọkọ kokan, bi a mimọ lati gbe jade siwaju ati siwaju sii titun Imọ.